Основное уравнение вращательной динамики. Уравнения динамики твердого тела
Пусть к некоторому телу, которое может вращаться около неподвижной оси О и имеет момент инерции приложена сила с плечом (рис. 62). Определим угловое ускорение приобретаемое телом под действием указанной силы.
Допустим, что за время тело поворачивается с угловой скоростью ( на угол причем точка приложения силы описывает дугу Работа, совершаемая силой за время будет равна или, иначе, Эта работа идет на увеличение кинетической энергии вращения тела, т. е.
Но при неизменности момента инерции тела
Стало быть (произведя сокращение на и введя момент силы получаем:
Мы видим, что это основное уравнение динамики вращательного движения по своему начертанию аналогично основному уравнению динамики поступательного движения
Однако, как и следовало ожидать, в уравнении (13) вместо силы фигурирует момент силы, вместо массы - момент инерции и вместо линейного ускорения - угловое ускорение.
Приняв во внимание возможность изменения момента инерции тела во время вращения, мы вместо уравнения (13) получили бы уравнение
аналогичное уравнению
В уравнение (14) входит величина Выясним ее физический смысл. При вращательном движении тела каждая его частица с массой описывает окружность некоторого радиуса имея при этом некоторую скорость (рис. 63). Произведение есть количество движения данной частицы. Произведение количества движения частицы на кратчайшее расстояние частицы от какой-либо оси, т. е. величина есть момент количества движения относительно оси. Момент количества движения относительно оси рассматривают как вектор, направленный по оси в ту сторону, куда нужно смотреть, чтобы видеть вращение происходящим по часовой стрелке.
Взяв сумму моментов количества движения всех частиц, составляющих вращающееся тело, получим момент количества движения
всего данного тела:
или, вынося за знак суммы общий для всех точек множитель со и замечая, что есть момент инерции находим:
Таким образом, момент количества движения тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции на угловую скорость.
Заметим, что момент количества движения вращающегося тела часто называют импульсом вращения.
Свободные оси. Основное уравнение динамики вращательного движения справедливо для вращения относительно любой возможной оси. Следует, однако, отметить, что в отношении характера и интенсивности взаимодействия вращающегося тела с опорами оси вращения не все оси равноценны.
Рис. 64 Врашение тела вокруг произвольной (а) и свободной (б) осей.
Рис. 65 Свободные оси палочки (а) и диска (б)
Возможны два случая: ось вращения такова, что центробежные силы инерции, развиваемые отдельными материальными точками тела, не уравновешиваются относительно этой оси (рис. 64, а); тогда тело при вращении оказывает Соковое давление на подшипники. Но может случиться, что все центробежные силы инерции уравновешиваются относительно оси вращения (рис. 64, б); такую ось называют свободной осью.
Если тело имеет ось полной симметрии, то, очевидно, эта ось симметрии и будет свободной осью.
Можно доказать, что во всяком теле существуют три взаимно перпендикулярные свободные оси.
В отношении устойчивости вращения небезразлично, какая именно из свободных осей служит осью вращения Опыт и теория показывают, что вращение около осей с наибольшим и наименьшим
моментом инерции отзывается устойчивым, а вращение около оси со средним моментом, инерции - неустойчивым. Так, если палочку подвесить за конец на нити и другой конец нити привести в быстрое вращение при помощи центробежной машины (рис. 65, а), то палочка будет вращаться в горизонтальной плоскости около вертикальной оси, перпендикулярной к длине палочки и проходящей через ее середину. Это и есть свободная ось вращения, причем момент инерции палочки при таком положении оси - максимальный.
Точно так же будет вращаться в горизонтальной плоскости тяжелое кольцо или диск (рис. 65, б).
Понятие о свободной оси вращения имеет большое значение для техники. Именно, надо заставлять вращающиеся части машины вращаться около их свободных осей, или, как говорят, надо хорошо их центрировать, иначе давление на ось, особенно при больших скоростях, может иметь вредные последствия вплоть до поломки машины.
При наблюдении сложных движений, например движения тела человека (ходьба, бег, прыжки и т.д.), кажется трудным или даже невозможным описать перемещение всех его точек. Однако, анализируя такие движения, можно заметить, что они состоят из более простых - поступательных и вращательных перемещений.
Механика поступательного движения известна читателю, поэтому раздел начинается с рассмотрения вращательного движения. Наиболее простым является вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Этот случай позволяет ознакомиться со спецификой, терминологией и законами вращательного движения.
5.1. КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
Абсолютно твердым телом называют такое, расстояние между любыми двумя точками которого неизменно.
Размеры и форма абсолютно твердого тела не изменяются при его движении.
Понятие «абсолютно твердое тело» - физическая абстракция, так как любое тело способно к деформациям. Однако во многих случаях деформацией можно пренебречь.
Наиболее простой случай вращательного движения абсолютно твердого тела - вращение относительно неподвижной оси. Это такое движение, при котором точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на прямой, называемой осью вращения.
Известно, что в некоторых случаях для характеристики движения тела необязательно указывать движение всех его точек; так, например, при поступательном движении достаточно указать движение любой одной точки тела.
При вращательном движении вокруг оси точки тела перемещаются по разным траекториям, но за одно и то же время все точки и само тело поворачивается на одинаковый угол. Для характеристики вращения
проведем в плоскости, перпендикулярной оси, радиус-вектор к некоторой точке i (рис. 5.1). Временная зависимость угла α поворота радиуса-вектора относительно некоторого выделенного направления ОХ является уравнением вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси:
Быстрота вращения тела характеризуется угловой скоростью, равной первой производной от угла поворота радиуса-вектора по времени:
Угловая скорость есть вектор, который направлен по оси вращения и связан с направлением вращения правилом правого винта (рис. 5.2). Вектор угловой скорости в отличие от векторов скорости и силы является скользящим: у него нет определенной точки приложения, и он может быть расположен в любом месте на оси вращения. Таким образом, задание вектора ω указывает положение оси вращения, направление вращения и модуль угловой скорости.
Быстрота изменения угловой скорости характеризуется угловым ускорением, равным первой производной от угловой скорости по времени:
или в векторной форме:
Из (5.4) видно, что вектор углового ускорения совпадает по направлению с элементарным, достаточно малым изменением вектора угловой скорости dω : при ускоренном вращении угловое ускорение направлено так же, как и угловая скорость, при замедленном вращении - противоположно ей.
Так как угловое перемещение всех точек абсолютно твердого тела одинаково, то, согласно (5.2) и (5.3), одновременно все точки тела имеют одинаковую угловую скорость и одинаковое угловое ускорение. Линейные характеристики - перемещение, скорость, ускорение - различны для разных точек. Укажем в скалярном виде связь, которая может быть выведена самостоятельно, между линейными и угловыми характеристиками для i-й точки, движущейся по окружности радиусом r i:
Рис. 5.3
В заключение приведем полученные путем интегрирования соответствующих выражений формулы кинематики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси:
уравнение равномерного вращательного движения [см. (5.2)]:
зависимость угловой скорости от времени в равнопеременном вращательном движении [см. (5.3)]:
уравнение равнопеременного вращательного движения [см. (5.1) и (5.6)]:
Полезно сопоставить эти формулы с аналогичными зависимостями для поступательного движения.
5.2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Момент силы _
Пусть к некоторой точке i твердого тела приложена сила F^, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси вращения (рис. 5.4).
Моментом силы относительно оси вращения называют векторное произведение радиуса-вектора точки i на силу:
Раскрывая его, можно записать:
где β - угол между векторами r i и F i . Так как плечо силы h i = r i sinβ (см. рис. 5.4), то
Если сила действует под некоторым углом α к плоскости вращения (рис. 5.5), то ее можно разложить на две составляющие. Одна из них лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, а другая параллельна этой этой оси и не оказывает влияния на вращение тела (в реальном случае она действует лишь на подшипники). Далее будут рассматриваться только силы, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
Рис. 5.4
Рис. 5.5
Работа во вращательном движении
Пусть при действии силы F i (см. рис. 5.4) тело поворачивается на достаточно малый угол dα. Найдем работу этой силы.
Известное из средней школы выражение для работы силы в данном случае следует записать так:
Итак,
элементарная работа силы во вращательном движении равна произведению момента силы на элементарный угол поворота тела.
Если на тело действует несколько сил, то элементарная работа, совершенная всеми ими, определяется аналогично (5.12):
где М - суммарный момент всех внешних сил, действующих на тело.
Если при повороте тела положение радиуса-вектора изменилось от α 1 до α 2 , то работа внешних сил может быть найдена интегрированием выражения (5.13):
Момент инерции
Мерой инертности тел при поступательном движении является масса. Инертность тел при вращательном движении зависит не только от массы, но и от распределения ее в пространстве относительно оси. Мера инертности тела при вращении характеризуется моментом инерции тела относительно оси вращения. Укажем сначала, что
моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называют величину, равную произведению массы точки на квадрат расстояния ее от оси:
Моментом инерции тела относительно оси называют сумму моментов инерции всех материальных точек, из которых состоит тело:
В качестве примера выведем формулу момента инерции тонкого однородного стержня длиной l и массой т относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину (рис. 5.6). Выберем достаточно малый участок стержня длиной dx и массой dm, удаленный от оси 00" на расстояние х. Ввиду малости этого участка он может быть принят за материальную точку, его момент инерции [см. (5.15)] равен:
Масса элементарного участка равна произведению линейной плотности т/l, умноженной на длину элементарного участка: dm = (m/l) dx Подставив это выражение в (5.18), получим
Чтобы найти момент инерции всего стержня, проинтегрируем выражение (5.19) по всему стержню, т.е. в пределах от -1/2 до +1/2:
Приведем выражения для моментов инерции разных симметричных тел массой т:
полого однородного цилиндра (обруча) с внутренним радиусом r и внешним R относительно оси ОО", совпадающей с геометрической осью цилиндра (рис. 5.7):
сплошного однородного цилиндра (r = 0) или диска [см. (5.21)]:
однородного шара относительно оси, проходящей через его центр:
прямоугольною параллелепипеда относительно оси ОО", проходящей через его центр перпендикулярно плоскости основания (рис. 5.8):
Во всех перечисленных примерах ось вращения проходит через центр масс тела. При решении задач для определения момента инерции тела относительно оси, не проходящей через центр масс, можно воспользоваться теоремой Гюйгенса. Согласно этой теореме, момент инерции тела относительно некоторой оси OO":
где J 0 - момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела OO"; т - масса тела; d - расстояние между двумя параллельными осями (рис. 5.9). Единицей момента инерции является килограмм-метр в квадрате (кг-м 2).
Момент импульса
Моментом импульса (момент количества движения) материальной точки, вращающейся относительно некоторой оси, называется величина, равная произведению импульса точки на расстоянии ее до оси вращения:
Момент импульса тела, вращающегося относительно некоторой оси, равен сумме моментов импульсов точек, из которых состоит данное тело:
Так как угловая скорость всех точек твердого тела одинакова, выне-ся ω за знак суммы [см. (5.29)], получим:
(/ - момент инерции тела относительно оси), или в векторной форме:
Итак, момент импульса равен произведению момента инерции точки на угловую скорость. Отсюда следует, что направления векторов момента импульса и угловой скорости совпадают. Единицей момента импульса является килограмм-метр в квадрате в секунду (кг? м 2 ? с -1).
Формулу (5.31) полезно сравнить с аналогичной формулой для импульса в поступательном движении.
Кинетическая энергия вращающегося тела
При вращении тела его кинетическая энергия складывается из кинетических энергий отдельных точек тела. Для твердого тела:
Полезно сопоставить выражение (5.32) с аналогичным выражением для поступательного движения.
Продифференцировав (5.32), получим элементарное изменение кинетической энергии во вращательном движении:
Основное уравнение динамики вращательного движения
Пусть твердое тело, на которое действовали внешние силы, повернулось на достаточно малый угол da. Приравняем элементарную работу всех внешних сил при таком повороте [см. (5.13)] элементарному изменению кинетической энергии [см. (5.33)]: M dα = J ω dω , откуда:
Это и есть основное уравнение динамики вращательного движения. Из (5.35) видно, что момент инерции характеризует инерционные свойства тела во вращательном движении: при действии внешних сил угловое ускорение тела тем больше, чем меньше момент инерции тела.
Основное уравнение для вращательного движения играет ту же роль, что и второй закон Ньютона для поступательного. Физические величины, входящие в это уравнение, аналогичны соответственно силе, массе и ускорению.
Из (5.34) следует, что:
Производная от момента импульса тела по времени равна равнодействующему моменту всех внешних сил.
Зависимость углового ускорения от момента силы и момента инерции можно продемонстрировать с по-
мощью прибора, изображенного на рис. 5.10. Под действием груза 1, подвешенного на нити, перекинутой через блок, крестовина ускоренно вращается. Перемещая грузики 2 на разные расстояния от оси вращения, можно изменять момент инерции крестовины. Меняя грузы, т.е. моменты сил, и момент инерции, можно убедиться, что угловое ускорение возрастает при увеличении момента силы или уменьшении момента инерции.
5.3. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
Рассмотрим частный случай вращательного движения, когда суммарный момент внешних сил равен нулю. Как видно из (5.37), dL/dt = 0 при М = 0, откуда
Это положение известно под названием закона сохранения момента импульса: если суммарный момент всех внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса этою тела остается постоянным.
Опуская доказательство, отметим, что закон сохранения момента импульса справедлив не только для абсолютно твердого тела.
Наиболее интересные применения этого закона связаны с вращением системы тел вокруг общей оси. При этом необходимо учитывать векторный характер момента импульса и угловых скоростей. Так, для системы, состоящей из N тел, вращающихся вокруг общей оси, закон сохранения момента импульса можно записать в форме:
Рассмотрим некоторые примеры, иллюстрирующие этот закон.
Гимнаст, выполняющий сальто (рис. 5.11), в начальной фазе сгибает колени и прижимает их к груди, уменьшая тем самым момент инерции и увеличивая угловую скорость вращения вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр масс. В конце прыжка тело выпрямляется, момент инерции возрастает, угловая скорость уменьшается. Фигурист, совершающий вращение вокруг вертикальной оси (рис. 5.12), в начале вращения приближает руки к корпусу, тем самым уменьшая момент инерции и увеличивая угловую скорость. В конце вращения происходит обратный процесс: при разведении рук увеличивается момент инерции и уменьшается угловая скорость, что позволяет легко остановиться.
Такое же явление может быть продемонстрировано на скамье Жуковского, которая представляет собой легкую горизонтальную платформу, вращающуюся с малым трением вокруг вертикальной оси. При изменении положения рук изменяются момент инерции и угловая скорость (рис. 5.13), момент импульса остается постоянным. Для усиления демонстрационного эффекта в руках человека гантели. На скамье Жуковского можно продемонстрировать векторный характер закона сохранения момента импульса.
Экспериментатор, стоящий на неподвижной скамье, получает от помощника велосипедное колесо, вращающееся вокруг вертикальной оси (рис. 5.14, слева). В этом случае момент импульса системы человек и платформа-колесо определяется только моментом импульса колеса:
здесь J ч - момент инерции человека и платформы; J K и ω κ - момент инерции и угловая скорость колеса. Так как момент внешних сил относительно вертикальной оси равен нулю, то L сохраняется (L = const).
Если экспериментатор повернет ось вращения колеса на 180° (рис. 5.14, справа), то момент импульса колеса будет направлен противоположно первоначальному и равен J K ω K . Так как вектор момента импульса колеса изменяется, а момент импульса системы сохраняется, то неизбежно должен измениться и момент импульса, человека и платформы, он уже не будет равен нулю 1 . Момент импульса системы в этом случае
1 Небольшим несовпадением оси колеса с осью вращения платформы можно пренебречь.
По формуле (5.42) можно приближенно оценить момент инерции тела человека вместе с платформой, для чего необходимо измерить ω κ , ω 4 и найти J k . Способ измерения угловых скоростей равномерного вращения известен читателю. Зная массу колеса и предполагая, что в основном масса распределена по ободу, по формуле (5.22) можно определить J k . Для уменьшения ошибки можно утяжелить обод велосипедного колеса, проложив по нему специальные шины. Человек должен располагаться симметрично оси вращения.
Более простой вариант рассмотренной демонстрации состоит в том, что человек, стоящий на скамье Жуковского, сам приводит во вращение колесо, которое он держит на вертикальной оси. При этом человек и платформа начинают вращаться в противоположные стороны (рис. 5.15).
5.4. ПОНЯТИЕ О СВОБОДНЫХ ОСЯХ ВРАЩЕНИЯ
Тело, вращающееся вокруг фиксированной оси, в общем случае действует на подшипники или другие устройства, которые сохраняют неизменным положение этой оси. При больших угловых скоростях и моментах инерции эти воздействия могут быть значительными. Однако в любом теле можно выбрать такие оси, направление которых при вращении будет сохраняться без каких-либо специальных устройств. Чтобы понять, какому условию должен удовлетворять выбор таких осей, рассмотрим следующий пример.
Сопоставляя (5.43) с координатами центра масс, замечаем, что силы, действующие на ось, уравновешиваются, если ось вращения проходит через центр масс.
Таким образом, если ось вращения проходит перпендикулярно стержню через центр масс, то воздействия на эту ось со стороны вращающегося тела не будет. Если при этом убрать подшипники, то ось вращения начнет перемещаться, сохраняя неизменным положение в пространстве, а тело будет продолжать вращение вокруг этой оси.
Оси вращения, которые без специального закрепления сохраняют свое направление в пространстве, называют свободными. Примерами таких осей являются оси вращения Земли и волчка, ось всякого брошенного и свободно вращающегося тела и т.п.
У тела произвольной формы всегда имеется по крайней мере три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс, которые могут быть свободными осями вращения. Эти оси называют главными осями инерции. Хотя все три главные оси инерции являются свободными, наиболее устойчивым будет вращение вокруг оси с наибольшим моментом инерции. Дело в том, что в результате неизбежного действия внешних сил, например трения, а также в связи с тем, что трудно задать вращение точно вокруг определенной оси, вращение вокруг остальных свободных осей неустойчиво.
В некоторых случаях, когда тело вращается около свободной оси с малым моментом инерции, оно само изменяет эту ось на ось с наибольшим моментом.
Это явление демонстрируют следующим опытом. К электродвигателю подвешена на нити цилиндрическая палочка, которая может вращаться вокруг своей геометрической оси (рис. 5.17, а). Момент инерции относительно этой оси J 1 = тR 2 /2. При достаточно большой угловой скорости палочка изменит свое положение (рис. 5.17, б). Момент инерции относительно новой оси равен J 2 = ml 2 /12. Если l 2 >6R 2 , то и J 2 > J 1 . Вращение вокруг новой оси будет устойчивым.
Читатель может самостоятельно на опыте убедиться, что вращение брошенной спичечной коробки устойчиво относительно оси, проходящей перпендикулярно большей грани, и неустойчиво или менее устойчиво относительно осей, проходящих перпендикулярно другим граням (см. рис. 5.8).
Вращение животных и человека в свободном полете и при различных прыжках происходит вокруг свободных осей с наибольшим или наименьшим моментом инерции. Так как положение центра масс зависит от позы тела, то при разных позах будут и различные свободные оси.
5.5. ПОНЯТИЕ О СТЕПЕНЯХ СВОБОДЫ
Положение свободной материальной точки в пространстве задается тремя независимыми координатами: х, у, z. Если точка не свободна, а перемещается, например, по некоторой поверхности, то не все три координаты будут независимыми.
Независимые переменные, характеризующие положение механической системы, называют степенями свободы.
У свободной материальной точки три степени свободы, в рассмотренном примере - две степени свободы. Так как молекулу одноатомного газа можно рассматривать как материальную точку, следовательно, такая свободная молекула тоже имеет три степени свободы.
Еще некоторые примеры.
Две материальные точки 1 и 2 жестко связаны друг с другом. Положение обеих точек задано шестью координатами x 1 , y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 2 , на которые наложены одно ограничение и одна связь, математически выражаемая в форме уравнения:
Физически это означает, что расстояние между материальными точками всегда l. В этом случае число степеней свободы равно 5. Рассмотренный пример является моделью двухатомной молекулы.
Три материальные точки 1, 2 и 3 жестко связаны друг с. другом. Девять координат характеризуют положение такой системы: x 1 , y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 2 , x 3 , y 3 , z 3 . Однако три связи между точками обусловливают независимость только шести координат. Система имеет шесть степеней свободы. Так как положение трех точек, не лежащих на одной прямой, однозначно определяет положение твердого тела, то и твердое тело имеет шесть степеней свободы.
Такое же число степеней свободы (шесть) имеют трехатомные и многоатомные молекулы, если эти молекулы рассматривать как жесткие образования.
1 Если для зависимой координаты из (5.44) получают мнимую величину, это означает, что выбранные независимые координаты не соответствуют каким-либо точкам, расположенным на сфере заданного радиуса.
В реальных многоатомных молекулах атомы находятся в колебательных движениях, поэтому число степеней свободы таких молекул более шести.
Число степеней свободы определяет не только число независимых переменных, характеризующих положение механической системы, но и, что очень важно, число независимых перемещений системы. Так, три степени свободы свободной материальной точки означают, что любое перемещение точки можно разложить на независимые перемещения по трем осям координат. Так как точка не имеет размеров, то говорить о ее вращении не имеет смысла. Итак, материальная точка имеет три степени свободы поступательного движения. Материальная точка на плоскости, сфере или иной поверхности имеет две степени свободы поступательного движения. Перемещение материальной точки вдоль кривой (условный пример - движение поезда по рельсам) соответствует одной степени свободы поступательного движения.
Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы вращательного движения. Колесо поезда имеет две степени свободы: одна - вращательного движения, а другая - поступательного (перемещение оси колеса вдоль рельса). Шесть степеней свободы твердого тела означают, что любое перемещение этого тела можно разложить на составляющие: перемещение центра масс раскладывается на три поступательных движения по осям координат, а вращение состоит из трех более простых поворотов относительно осей координат, проходящих через центр масс.
На рис. 5.18-5.20 показаны шарнирные соединения, соответствующие одной, двум и трем степеням свободы.
Рис. 5.18
Рис. 5.19
Рис. 5.20
5.6. ЦЕНТРИФУГИРОВАНИЕ
Центрифугированием называется процесс разделения (сепарации) неоднородных систем, например частиц от жидкостей, в которых они находятся, обусловленный их вращением.
Рассмотрим разделение неоднородных систем в поле силы тяжести. Предположим, что имеется водная суспензия частиц различной плотности. Со временем благодаря действию силы тяжести и выталкивающей силы F A происходит расслаивание частиц: частицы с большей, чем у воды, плотностью тонут, частицы с меньшей, чем у воды, плотностью всплывают. Результирующая сила, действующая, например, на более плотную отдельную частицу, равна:
где ρ 1 - плотность вещества частицы; ρ - плотность воды; V - объем частицы.
Если значения ρ 1 и ρ мало отличаются друг от друга, то сила F p мала и расслоение (осаждение) происходит достаточно медленно. В центрифуге (сепараторе) такое разделение производят принудительно, вращая разделяемую среду.
Рассмотрим физику этого явления.
Пусть рабочий объем центрифуги (рис. 5.21: а - внешний вид; б - схема рабочего объема) полностью занят какой-либо однородной жидкостью. Выделим мысленно небольшой объем V этой жидкости, находящийся на расстоянии r от оси вращения OO". При равномерном вращении центрифуги на выделенный объем кроме силы тяжести и выталкивающей силы, которые уравновешивают друг друга, действует центростремительная сила. Это сила со стороны окружающей объем жидкости. Она, естественно, направлена к оси вращения и равна:
где ρ - плотность жидкости.
Предположим теперь, что выделенный объем V - это сепарируемая частица, плотность вещества которой ρ 1 (ρ 1 Φ ρ). Сила, действующая на частицу со стороны окружающей жидкости, не изменится, как это видно из формулы (5.45).
Для того чтобы частица вращалась вместе с жидкостью, на нее должна действовать центростремительная сила, равная:
где m 1 - масса частицы, а ρ 1 - соответствующая ей плотность.
Рис. 5.21
Если F > F 1 , то частица перемещается к оси вращения. Если F < F 1 , то воздействия на частицу со стороны жидкости будет недостаточно, чтобы удержать ее на круговой траектории, и частица по инерции начнет перемещаться к периферии. Эффект сепарации определяется превышением силы F, действующей со стороны жидкости на выделенную частицу, над тем значением центростремительной силы F 1 , которое обусловливает движение по окружности:
Это выражение показывает, что эффект центрифугирования тем больше, чем больше различие плотностей сепарируемых частиц и жидкости, а также существенно зависит от угловой скорости вращения 1 .
Сравним разделение центрифугированием с разделением с помощью силы тяжести:
1 Сила тяжести и выталкивающая сила при выводе формулы (5.47) не учитываются, так как они направлены вдоль оси вращения и не оказывают принципиального влияния на центрифугирование.
Ультрацентрифуги способны разделить частицы размером менее 100 нм, взвешенные или растворенные в жидкости. Они нашли широкое применение в медико-биологических исследованиях для разделения биополимеров, вирусов и субклеточных частиц.
Быстрота сепарации особенно важна в биологических и биофизических исследованиях, так как со временем может существенно измениться состояние изучаемых объектов.
«Физика - 10 класс»
Угловое ускорение.
Ранее мы получили формулу, связывающую линейную скорость υ, угловую скорость ω и радиус R окружности, по которой движется выбранный элемент (материальная точка) абсолютно твёрдого тела, которое, вращается относительно неподвижной оси:
Мы знаем, что линейные скорости и ускорения точек твёрдого тела различны. В то же время угловая скорость всех точек твёрдого тела одинакова.
Угловая скорость - векторная величина. Направление угловой скорости определяется по правилу буравчика. Если направление вращения ручки буравчика совпадает с направлением вращения тела, то поступательное движение буравчика указывает направление вектора угловой скорости (рис. 6.1).
Однако равномерное вращательное движение встречается довольно редко. Гораздо чаще мы имеем дело с движением, при котором угловая скорость изменяется, очевидно, это происходит в начале и конце движения.
Причиной изменения угловой скорости вращения является действие на тело сил. Изменение угловой скорости со временем определяет угловое ускорение .
Bектор угловой скорости - это скользящий вектор. Независимо от точки приложения его направление указывает направление вращения тела, а модуль определяет быстроту вращения,
Среднее угловое ускорение равно отношению изменения угловой скорости к промежутку времени, за которое это изменение произошло:
При равноускоренном движении угловое ускорение постоянно и при неподвижной оси вращения характеризует изменение угловой скорости по модулю. При увеличении угловой скорости вращения тела угловое ускорение направлено в ту же сторону, что и угловая скорость (рис. 6.2, а), а при уменьшении - в противоположную (рис. 6.2, б).
Так как угловая скорость связана с линейной скоростью соотношением υ = ωR, то изменение линейной скорости за некоторый промежуток времени Δt равно Δυ =ΔωR. Разделив левую и правую части уравнения на Δt, имеем или а = εR, где а - касательное (линейное) ускорение , направленное по касательной к траектории движения (окружности).
Если время измерено в секундах, а угловая скорость - в радианах в секунду, то одна единица углового ускорения равна 1 рад/с 2 , т. е. угловое ускорение выражается в радианах на секунду в квадрате.
Неравномерно движутся при запуске и остановке любые вращающиеся тела, например ротор в электродвигателе, диск токарного станка, колесо автомобиля при разгоне и др.
Момент силы.
Для создания вращательного движения важно не только значение силы, но также и точка её приложения. Отворить дверь, оказывая давление около петель, очень трудно, в то же время вы легко её откроете, надавливая на дверь как можно дальше от оси вращения, например на ручку. Следовательно, для вращательного движения существенно не только значение силы, но и расстояние от оси вращения до точки приложения силы. Кроме этого, важно и направление приложенной силы. Можно тянуть колесо с очень большой силой, но так и не вызвать его вращения.
Момент силы - это физическая величина, равная произведению силы на плечо:
M = Fd,
где d - плечо силы, равное кратчайшему расстоянию от оси вращения до линии действия силы (рис. 6.3).
Очевидно, что момент силы максимален, если сила перпендикулярна радиус-вектору, проведённому от оси вращения до точки приложения этой силы.
Если на тело действует несколько сил, то суммарный момент равен алгебраической сумме моментов каждой из сил относительно данной оси вращения.
При этом моменты сил, вызывающих вращение тела против часовой стрелки, будем считать положительными (сила 2), а моменты сил, вызывающих вращение по часовой стрелке, - отрицательными (силы 1 и 3) (рис. 6.4).
Основное уравнение динамики вращательного движения. Подобно тому как опытным путём было показано, что ускорение тела прямо пропорционально действующей на него силе, было установлено, что угловое ускорение прямо пропорционально моменту силы:
Пусть на материальною точку, движующуюся по окружности, действует сила (рис. 6.5). Согласно второму закону Ньютона в проекции на касательное направление имеем mа к = F к. Умножив левую и правую части уравнения на r, получим ma к r = F к r, или
mr 2 ε = М. (6.1)
Заметим, что в данном случае r - кратчайшее расстояние от оси вращения до материальной точки и соответственно точки приложения силы.
Произведение массы материальной точки на квадрат расстояния до оси вращения называют моментом инерции материальной точки и обозначают буквой I.
Таким образом, уравнение (6.1) можно записать в виде I ε = М, откуда
Уравнение (6.2) называют основным уравнением динамики вращательного движения .
Уравнение (6.2) справедливо и для вращательного движения твёрдого тела , имеющего неподвижную ось вращения, где I - момент инерции твёрдого тела, а М - суммарный момент сил, действующих на тело. В этой главе при расчёте суммарного момента сил мы рассматриваем только силы или их проекции, принадлежащие плоскости, перпендикулярной оси вращения.
Угловое ускорение, с которым вращается тело, прямо пропорционально сумме моментов сил, действующих на него, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно данной оси вращения.
Если система состоит из набора материальных точек (рис. 6.6), то момент инерции этой системы относительно данной оси вращения ОО" равен сумме моментов инерции каждой материальной точки относительно этой оси вращения: I = m 1 r 2 1 + m 2 r 2 2 + ... .
Момент инерции твёрдого тела можно вычислить разделив тело на малые объёмы, которые можно считать материальными точками, и просуммировать их моменты инерции относительно оси вращения. Очевидно, что момент инерции зависит от положения оси вращения.
Из определения момента инерции следует, что момент инерции характеризует распределение массы относительно оси вращения.
Приведём значения моментов инерции для некоторых абсолютно твёрдых однородных тел массой m.
1. Момент инерции тонкого прямого стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину (рис. 6.7), равен:
2. Момент инерции прямого цилиндра (рис. 6.8), или диска относительно оси ОО", совпадающей с геометрической осью цилиндра или диска:
3. Момент инерции шара
4. Момент инерции тонкого обруча радиусом R относительно оси, проходящей через его центр:
Момент инерции по физическому смыслу во вращательном движении играет роль массы, т. е. он характеризует инертность тела по отношению к вращательному движению. Чем больше момент инерции, тем сложнее тело заставить вращаться или, наоборот, остановить вращающееся тело.
Напомним, что элементарной работой dA силы F называется скалярное произведение силы F на бесконечно малое перемещение dl :где - угол между направлением силы и направлением перемещения.
Отметим, что нормальная составляющая силы F n (в отличие от тангенциальной F τ ) и сила реакции опоры N работы не совершают, так как они перпендикулярны направлению перемещения.
Элемент dl=rd при небольших углах поворота d (r – радиус-вектор элемента тела). Тогда работа этой силы записывается следующим образом:
. (19)
Выражение Fr cos является моментом силы (произведение силы F на плечо p=r cos):
(20)
Тогда работа равна
. (21)
Эта работа затрачивается на изменение кинетической энергии вращения:
. (22)
Если I=const, то после дифференцирования правой части получим:
или,
так как
, (23)
где
- угловое ускорение.
Выражение (23) является уравнением динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси, которое лучше с точки зрения причинно-следственных связей представить как:
. (24)
Угловое ускорение тела определяется алгебраической суммой моментов внешних сил относительно оси вращения деленной на момент инерции тела относительно этой оси.
Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение (см. таблицу 1):
Таблица 1
|
Поступательное движение |
Вращательное движение |
|
Момент инерции I |
|
|
Скорость
|
Угловая
скорость
|
|
Ускорение
|
Угловое
ускорение
|
|
Сила
|
Момент
силы
|
|
Основное
уравнение динамики:
|
Основное
уравнение динамики: |
|
Работа
|
Работа
|
|
Кинетическая
энергия
|
Кинетическая
энергия
|
или
Динамика поступательного движения твердого тела полностью определяется силой и массой как мерой их инертности. При вращательном движении твердого тела динамика движения определяется не силой как таковой, а ее моментом, инертность не массой, а ее распределением относительно оси вращения. Тело не приобретает углового ускорения, если сила приложена, но ее момент будет равен нулю.
Методика выполнения работы
Принципиальная схема лабораторной установки представлена на рис.6. Она состоит из диска массой m d , закрепленных на нем четырех стержней массами m 2 , и четырех грузов массами m 1 , расположенных симметрично на стержнях. На диск намотана нить, к которой подвешен груз массой m.
Согласно второму закону Ньютона составим уравнение поступательного движения груза m без учета сил трения:
|
|
(25)или в скалярном виде, т.е. в проекциях на направление движения:
. (26)
, (27)
где T – сила натяжения нити. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения (24), момент силы T, под действием которой система тел m d , m 1, m 2 совершает вращательное движение, равен произведению момента инерции I этой системы на ее угловое ускорение :
или
, (28)
где R – плечо этой силы равное радиусу диска.
Выразим силу натяжения нити из (28):
(29)
и приравняем правые части (27) и (29):
. (30)
Линейное ускорение связано с угловым следующим соотношением a=R, следовательно:
. (31)
Откуда ускорение груза m без учета сил трения в блоке равно:
. (32)
Рассмотрим динамику движения системы с учетом сил трения, которые действуют в системе. Они возникают между стержнем, на котором закреплен диск и неподвижной частью установки (внутри подшипников), а также между подвижной частью установки и воздухом. Все эти силы трения мы будем учитывать с помощью момента сил трения.
С учетом момента сил трения уравнение динамики вращения записывается следующим образом:
, (33)
где a’ – линейное ускорение при действии сил трения, M тр – момент сил трения.
Вычитая уравнение (33) из уравнения (28), получим:
,
. (34)
Ускорение без учета силы трения (а) можно рассчитать по формуле (32). Ускорение гирьки с учетом сил трения можно рассчитать из формулы для равноускоренного движения, измерив пройденный путь S и время t:
. (35)
Зная значения ускорений (а и а’), по формуле (34) можно определить момент сил трения. Для расчетов необходимо знать величину момента инерции системы вращающихся тел, который будет равен сумме моментов инерции диска, стержней и грузов.
Момент инерции диска согласно (14) равен:
. (36)
Момент инерции каждого из стержней (рис.6) относительно оси О согласно (16) и теореме Штейнера равен:
где a c =l/2+R, R – расстояние от центра масс стержня до оси вращения О; l – длина стержня; I oc – его момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс.
Аналогично рассчитываются моменты инерции грузов:
, (38)
где h – расстояние от центра масс груза до оси вращения О; d – длина груза; I 0 r – момент инерции груза относительно оси, проходящей через его центр масс. Сложив моменты инерции всех тел, получим формулу для вычисления момента инерции всей системы.
Билет1.
Световая волна. Интерференция световых волн.
Свет - в физической оптике электромагнитное излучение, воспринимаемое человеческим глазом. В качестве коротковолновой границы спектрального диапазона, занимаемого светом, принят участок сдлинами волн в вакууме 380-400 нм (750-790 ТГц), а в качестве длинноволновой границы - участок 760-780 нм (385-395 ТГц).В широком смысле, используемом вне физической оптики, светом часто называ
|
Билет2
Билет №3
1. Кинематика вращательного движения. Связь между векторами v и ω.
вращательным движением абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных к неподвижной прямой, называемой осью вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси. Угловой скоростью вращения называется вектор, численно равный первой производной угла поворота тела по времени и направленный вдоль оси вращения по правилу правого винта:
Единица измерения угловой скорости радиан в секунду (рад/с).
Таким образом, вектор ω
определяет направление и быстроту вращения. Если ω=const
, то вращение называется равномерным.
Угловая скорость может быть связана с линейной скоростью υ
произвольной точки А
. Пусть за время Δt
точка проходит по дуге окружности длину пути Δs
. Тогда линейная скорость точки будет равна:
/////////////
При равномерном вращении его можно охарактеризовать периодом вращенияТ – временем, за которое точка тела совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2π:
/////////////////
Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения:
….....................
Откуда
Для характеристики неравномерного вращения тела вводится понятие углового ускорения. Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:
////////////////////////(1.20)
Выразим тангенциальную и нормальную составляющие ускорения точки A вращающегося тела через угловую скорость и угловое ускорение:
////////////////(1.21)
/////////////////(1.22)
В случае равнопеременного движения точки по окружности (ε=const ):
////////////////////////////
Где ω0
- начальная угловая скорость.Поступательное и вращательное движения твердого тела являются лишь простейшими типами его движения. В общем случае движение твердого тела может быть весьма сложным. Однако в теоретической механике доказывается, что любое сложное движение твердого тела можно представить как совокупность поступательного и вращательного движений.
Кинематические уравнения поступательного и вращательного движений сведены в табл. 1.1.
Таблица 1.1
2. Уравнения Максвелла.06
Первую пару уравнений Максвелла образуют
Первое из этих уравнений связывает значения Е с временными изменениями вектора В и является по существу выражением закона электромагнитной индукции. Второе уравнение отражает то свойство вектора В, что его линии замкнуты (или уходят в бесконечность)
//////////
Билет №4
Билет №5
Работа. Мощность.
Работой называется скалярная величина, равная произведению проекции силы на направление перемещения и пути s ,проходимого точкой приложения силыA fs cos (1.53)Если сила и направление перемещения образуют острый угол (cosα>0), работа положительна. Если угол α – тупой (cosα<0),работа отрицательна. При α = π/2 работаравна нулю
Скалярное произведение двух векторов равно:AB AB cos.Выражение для работы (1.54) можно записать в виде скалярного произведения
Где под Δs подразумевается вектор элементарного перемещения, который мы ранее обозначали через Δr. s vt ////////////
Мощность W есть величина, равная отношению работы ΔА к промежутку времени Δt , за который она совершается:///////////////////////
Если работа меняется со временем, то вводится мгновенное значение мощности:///////////
Билет №6
Уравнения Максвелла.
2. Дифракция Френеля от простейших преград.
Билет №7
Билет№8
Билет №9
В состоянии равновесия
сила mg уравновешива ется упругой силой k Δl0 :
mg k l 0 (1.129)
0 f mg k (l x )
f kx (1.130)
Силы такого вида принято
Называть квазиупругими
Амплитудой колебания.
Величина, стоящая в скобках под знаком
Начальной фазой колебания.
промежуток времени Т, за который фаза
колебания получает приращение, равное 2π
Циклической частотой.
0 2 (1.139)
Энергия гармонического
Колебания
Продифференцировав (1.135) по времени,
Совпадает со средним
значением Ep и равно Е/ 2.
Ток индукционным.
Величина индукционного тока определяется
лишь скоростью изменения Φ, т. е. значением
производной d Φ/d t. При изменении знака
Тока.
Явление электромагнитной
Индукции.
Привило Ленца гласит, что индукционный ток всегда
Его вызывающей.
Билет№10
Нуль
Разделив это выражение на L и заменив через
(2.188);
Заменяя ω0 по формуле (2.188), получим
Свободные затухающие
Колебания.
Уравнение колебаний можно получить, исходя из того,
имеет вид:
где ….
Подставляя значение (2.188) для ω0 и (2.196) для β,
Находим, что
Разделив (2.198) на емкость С , получим напряжение
на конденсаторе:
Билет№12
Сила Лоренца равна
Таким образом, движение
Радиус окружности, по
Которой происходит вращение
Определяется формулой
(2.184) с заменой v на v = v
Шаг спирали l можно найти,
умножив v ║ на определяемый
Формулой (2.185) период
обращения Т :
…............
2. Поляризация при двойном лучепреломлении. Двойно́е лучепреломле́ние - эффект расщепления в анизотропных средах луча света на две составляющие. Впервые обнаружен датским ученымРасмусом Бартолином на кристалле исландского шпата. Если луч света падает перпендикулярно к поверхности кристалла, то на этой поверхности он расщепляется на два луча. Первый луч продолжает распространяться прямо, и называется обыкновенным (o - ordinary), второй же отклоняется в сторону, и называется необыкновенным (e - extraordinary). Направление колебания вектора электрического поля необыкновенного луча лежит в плоскости главного сечения (плоскости, проходящей через луч и оптическую ось кристалла). Оптическая ось кристалла - направление в оптически анизотропном кристалле, по которому луч света распространяется, не испытывая двойного лучепреломления.
Нарушение закона преломления света необыкновенным лучом связанно с тем, что скорость распространения света (а значит и показатель преломления) волн с такой поляризацией, как у необыкновенного луча, зависит от направления. Для обыкновенной волны скорость распространения одинакова во всех направлениях.
Можно подобрать условия, при которых обыкновенный и необыкновенный лучи распространяются по одной траектории, но с разными скоростями. Тогда наблюдается эффект изменения поляризации. Например, линейно поляризованный свет, падающий на пластинку можно представить в виде двух составляющих (обыкновенной и необыкновенной волн), двигающихся с разными скоростями. Из-за разности скоростей этих двух составляющих, на выходе из кристалла между ними будет некоторая разность фаз, и в зависимости от этой разности свет на выходе будет иметь разные поляризации. Если толщина пластинки такова, что на выходе из неё один луч на четверть волны (четверть периода) отстаёт от другого, то поляризация превратится в круговую (такая пластинка называется четвертьволновой), если один луч от другого отстанет на пол волны, то свет останется линейно поляризованным, но плоскость поляризации повернётся на некоторый угол, значение которого зависит от угла между плоскостью поляризации падающего луча и плоскостью главного сечения (такая пластинка называется полуволновой).Качественно явление можно объяснить следующим образом. Из уравнений Максвелла для материальной среды следует, что фазовая скорость света в среде обратно пропорциональна величине диэлектрической проницаемостиε среды. В некоторых кристаллах диэлектрическая проницаемость - тензорная величина - зависит от направления электрического вектора, то есть от состояния поляризации волны, поэтому и фазовая скорость волны будет зависеть от ее поляризации. Согласно классической теории света, возникновение эффекта связано с тем, что переменное электромагнитное поле света заставляет колебаться электроны вещества, и эти колебания влияют на распространение света в среде, а в некоторых веществах заставить электроны колебаться проще в некоторых определённых направлениях.Искусственное двойное лучепреломление. Помимо кристаллов двойное лучепреломление наблюдается и визотропных средах, помещённых в электрическое поле (эффект Керра), в магнитное поле (эффект Коттона - Мутона, эффект Фарадея), под действием механических напряжений (фотоупругость). Под действием этих факторов изначально изотропная среда меняет свои свойства и становится анизотропной. В этих случаях оптическая ось среды совпадает с направлением электрического поля, магнитного поля, направлением приложения силы.Отрицательные кристаллы - одноосные кристаллы, в которых скорость распространения обыкновенного луча света меньше, чем скорость распространения необыкновенного луча. В кристаллографии Отрицательными кристаллами называют также жидкие включения в кристаллах, имеющие ту же форму, что и сам кристалл.Положительные кристаллы - одноосные кристаллы, в которых скорость распространения обыкновенного луча света больше, чем скорость распространения необыкновенного луча.
Билет№13
Излучение диполя.06
Называется элементарным
Дипольный электрический
Момент такой системы равен
p ql cost n pm cost , (2.228)
где l – удвоенная амплитуда
Ленный вдоль оси диполя,
pm = ql n
Волновой фронт в так называемой волновой зоне, т. е.
Зависимость
Интенсивности волны от
угла θ изображается с
Помощью диаграммы
Направленности диполя
(рис. 246).
Энергия, излучаемая по всем направлениям в
Излучения.
Билет№14
Данной точке.
Отрицателен
Осью диполя.
Найдем напряжен-
Ность поля на оси
Диполя, а также на
Прямой, проходя-
Щей через центр
Диполя и перпен-
Дикулярной к его
оси (рис. 4).
Положение точек
Будем характеризо-
Вать их расстояни-
ем r от центра дипо-
ля. Напомним, что
r >> l .
На оси диполя векторы Е+ и Е– имеют противополож-
Следует, что
….........
Билет№15
Энергия
Физическая величина, характеризующая
Скоростью и,
во-вторых, нахождением тела в
Потенциальном поле сил.
Энергия первого вида называется
Вектора v.
Умножив на m числитель и знаменатель,
уравнение (1.65) можно переписать как:
Кинетической энергии
…..........
A T 2 T1 (1.67)
Потенциальная энергия
Тел, образующих систему
…...........
Закон сохранения энергии
E E 2 E 1 A н. к. (1.72)
Для системы из N тел, между которыми
Линия напряженности.
Поток вектора напряженности
Густота линий выбирается так, чтобы количество
Вектора Е.
Линии Е точечного заряда представляют собой
радиальные прямые.
Следовательно, полное число линий N равно
Если площадка dS ориентирована так, что нормаль к
ней образует с вектором Е угол α, то количество
Нормали к площадке
численно равно
…..........
где выражение для Ф называется потоком вектора Е
В тех местах, где вектор Е
Объем, охватываемых поверх-
ностью), Еn и соответственно d Ф
будут отрицательны (рис. 10)
Теорема Гаусса
Можно показать, что, как и для сферической
Билет№16
Изменения.
Инерциальные системы
Отсчета
Система отсчета, в которой выполняется
Неинерциальной.
Примером инерциальной системы
Инерциальной
Групповая скорость - это величина, характеризующая скорость распространения «группы волн» - то есть более или менее хорошо локализованной квазимонохроматической волны (волны с достаточно узким спектром). Групповая скорость во многих важных случаях определяет скорость переноса энергии и информации квазисинусоидальной волной (хотя это утверждение в общем случае требует серьёзных уточнений и оговорок).
Групповая скорость определяется динамикой физической системы, в которой распространяется волна (конкретной среды, конкретного поля итп). В большинстве случаев подразумевается линейность этой системы (точно или приближенно).
Для одномерных волн групповая скорость вычисляется из закона дисперсии:
,
где - угловая частота, - волновое число.
Групповая скорость волн в пространстве (например, трехмерном или двумерном) определяется градиентомчастоты по волновому вектору :
Замечание: групповая скорость вообще говоря зависит от волнового вектора (в одномерном случае - от волнового числа), то есть вообще говоря различна для разной величины и для разных направлений волнового вектора.
Билет№17
Работа сил
Электростатического поля
….......
…........
…........
мы учли, что
….....
Отсюда для работы на пути 1–2 получаем
Следовательно, силы, действующие на заряд q" в
поле неподвижного заряда q , являются
потенциальными.
где El – проекция вектора Е на направление
элементарного перемещения d l
Циркуляцией по контуру.
Таким образом, для электростатического
Потенциал.
Для разных пробных значений q′ отношение
Wp/qпр будет постоянным
ведичина φ ─ называется потенциалом поля
Электрических полей
Из 225 и226 получаем
С учетом (2.23) получаем
….......
Для потенциальной энергии заряда q′ в поле
Отдельности
Из 226 вытекает что
Средах
Однородном веществе
Примеры мутных сред:
– дым (мельчайшие твердые частицы в газе)
– туман (капли жидкости в воздухе, газе)
– суспензия клеток
– эмульсия (дисперсная система, состоящая из
Другие виды энергии
Поглощающего вещества
….......
…........
….....
Билет№18
Второй закон Ньютона.02
Тела.
Связь между напряженностью
Направление r равна
Можно написать
Щении вдоль касательной к
поверхности τ на величину d τ
Потенциал не изменится, так
что φ/τ = 0. Но φ/τ равна
Циальной поверхности будет
Совпадать с направлением
Же точке.
Билет№19
Конденсаторы
Под емкостью конденсатора понимается физическая
величина, пропорциональная заряду q и обратно
Соединение конденсаторов
При параллельном соединении (рис. 50) на каждой из
Напряжение
Обкладках.
Поэтому напряжение на каждом из
конденсаторов:
Закон Кирхгофа.
Билет№20
Можно придать другой вид
…..............
Векторную величину
p m v (1.44)
Закон сохранения импульса
Импульсом системы р называется
Образующих систему,
…....................
Центром тяжести системы.
Скорость центра инерции получается
путем дифференцирования rс по
времени:
.................
Учитывая, что mi vi есть рi , а Σрi дает
импульс системы р, можно написать
p m v c(1.50)
Таким образом, импульс системы равен
Каждой из внутренних сил
По третьему закону
Ньютона можно написать fij
= – fji
Символом Fi обозначена
Результирующая внешних
сил, действующая на тело i
Уравнение (1.45)
…......
….........
…..........
Нулю, вследствие чего
Р постоянен
Постоянным
p m vc (1.50)
Энергия системы зарядов.02
Рассмотрим систему из двух точечных зарядов q 1 и q 2,
находящихся на расстоянии r 12.
Работа переноса заряда q 1 из бесконечности в точку,
удаленную от q 2 на r 12 равна:
где φ 1 – потенциал, создаваемый зарядом q 2 в той
точке, в которую перемещается заряд q 1
Аналогично для второго заряда получим:
…........
Равна энергии трех зарядов
…...............
….....................
где φ1 – потенциал, создаваемый зарядами q 2 и q 3 в той
точке, где расположен заряд q 1 и т. д.
Добавляя к системе зарядов последовательно
q4, q 5 и т. д., можно убедиться в том, что в
случае N зарядов потенциальная энергия
Системы равна
где φi – потенциал, создаваемый в той точке,
где находится qi , всеми зарядами, кроме i -го.
Билет№21
Сила
Выражение (2.147) совпадает с (2.104), если положить
k = 1. Следовательно, в СИ закон Ампера имеет вид
df i d lB (2.148)
df iB dl sin (2.149)
Сила Лоренца
Согласно (2.148) на элемент тока d l действует в
магнитном поле сила
df i d lB (2.150)
Заменив id l через S jdl [см. (2.111)], выражению закона
Ампера можно придать вид
df Sdl jB jBdV
где dV – объем проводника, к которому приложена
сила d f.
Разделив d f на dV , получим «плотность силы», т. е.
силу, действующую на единицу объема проводника:
f ед. об jB (2.151)
Найдем, что
fед. об ne "uB
Эта сила равна сумме сил, приложенных к носителям
в единице объема. Таких носителей n , следователь-
Важно отметить, что закон говорит только об общей излучаемой энергии. Распределение энергии по спектруизлучения описывается формулой Планка, в соответствии с которой в спектре имеется единственный максимум, положение которого определяется законом Вина.
Зако́н смеще́ния Ви́на даёт зависимость длины волны, на которой поток излучения энергии чёрного тела достигает своего максимума, от температуры чёрного тела. λmax = b /T ≈ 0,002898 м·К × T −1 (K),
где T - температура, а λmax - длина волны с максимальной интенсивностью. Коэффициент b , называемыйпостоянной Вина, в системе СИ имеет значение 0,002898 м·К.
Для частоты света (в герцах) закон смещения Вина имеет вид:
α ≈ 2,821439… - постоянная величина (корень уравнения
),
k - постоянная Больцмана,
h - постоянная Планка,
T - температура (в кельвинах).
Билет№22
Третий закон Ньютона.
Направлению.
f12 f21 (1.42)
Билет№23
Формула Планка.
Билет№24
Билет№25
Закон Джоуля – Ленца.
Фотоэффект.
Билет№26
Эффект Комптона.
Билет1.
Основное уравнение динамики вращательного движения.
Это основное уравнение динамики вращательного движения тела: угловое ускорение вращающегося тела прямо пропорционально сумме моментов всех действующих на него сил относительно оси вращения тела и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно этой оси вращения. Полученное уравнение аналогично по форме записи выражению второго закона Ньютона для поступательного движения тела.
второй закон Ньютона для вращательного движения По определению угловое ускорение и тогда это уравнение можнопереписать следующим образом с учетом (5.9) или
Это выражение носит название основного уравнения динамики вращательного движения и формулируется следующим образом: изменение момента количества движения твердого тела , равно импульсу момента всех внешних сил, действующих на это тело.