Силовое поле (фантастика). Потенциальное поле сил Определение силового поля
СИЛОВОЕ ПОЛЕ - часть пространства (ограниченная или неограниченная), в каждой точке к-рой на помещённую туда материальную частицу действует определённая по численной величине и направлению сила, зависящая только от координат х, у, z этой точки. Такое С. п. наз. стационарным; если сила поля зависит и от времени, то С. п. наз. нестационарным; если сила во всех точках С. п. имеет одно и то же значение, т. е. не зависит ни от координат, ни от времени, С. п. наз. однородным.
Стационарное С. п. может быть задано ур-ниями
где F x , F y , F z - проекции силы поля F.
Если существует такая ф-ция U(x, у
, z), называемая силовой ф-цией,
что элементарная работа сил поля равна полному дифференциалу этой ф-ции,
то С. п. наз. потенциальным. В этом случае С. п. задаётся одной ф-цией
U(x,
у, z
), а сила F может быть определена через эту ф-цию равенствами:
или
. Условие
существования силовой ф-ции для данного С. п. состоит в том, что
или . При перемещении в потенциальном С. п. из точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1 )в точку М 2 (х 2 , у 2 , z 2) работа сил поля определяется равенством и не зависит от вида траектории, по к-рои перемещается точка приложения силы.
Поверхности U(x, у , z) = const, на к-рых ф-ция сохраняет пост. значение, наз. поверхностями уровня. Сила в каждой точке поля направлена по нормали к проходящей через эту точку поверхности уровня; при перемещении вдоль поверхности уровня работа сил поля равна нулю.
Примеры потенциального С. п.: однородное поле тяжести, для к-рого U
= -mgz
, где т
- масса движущейся в поле частицы, g
- ускорение
силы тяжести (ось z
направлена вертикально вверх); ньютоново поле
тяготения, для к-рого U = km/r
, где r =
- расстояние от центра притяжения, k - постоянный для данного поля коэффициент.
Вместо силовой ф-ции в качестве характеристики потенциального С. п. можно
ввести потенциальную энергию
П, связанную с U
зависимостью
П(х,
у, z
)= = -U(x, у
, z). Изучение движения частицы в потенциальном
С. п. (при отсутствии других сил) существенно упрощается, т. к. в этом
случае имеет место закон сохранения механич. энергии, позволяющий установить
прямую зависимость между скоростью частицы и её положением в С. п. с.
м. Тарг
. СИЛОВЫЕ ЛИНИИ
- семейство кривых, характеризующих пространственное
распределение векторного поля сил; направление вектора поля в каждой точке
совпадает с касательной к С. л. Т. о., ур-ния С. л. произвольного векторного
поля А (х, у
, z) записываются в виде:
Плотность С. л. характеризует интенсивность (величину) силового поля. Область пространства, ограниченная С. л., пересекающими к--л. замкнутую кривую, наз. силовой трубкой. С. л. вихревого поля замкнуты. С. л. потенциального поля начинаются на источниках поля и заканчиваются на его стоках (источниках отрицат. знака).
Понятие С. л. введено М. Фарадеем при исследовании магнетизма, а затем получило дальнейшее развитие в работах Дж. К. Максвелла по электромагнетизму. Согласно представлениям Фарадея и Максвелла, в пространстве, пронизываемом С. л. электрич. и магн. полей, существуют механич. напряжения, соответствующие натяжению вдоль С. л. и давлению поперёк них. Математически эта концепция выражена в Максвелла тензоре натяжений эл--магн. поля.
Наряду с использованием понятия С. л. чаще говорят просто о линиях поля: напряжённости электрич. поля Е , индукции магн. поля В и т. п., не делая спец. акцента на отношение этих нолей к силам.
Снова рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух точек А и В. В силу первого закона Ньютона, если бы в системе не было точки В и точка А была свободной, то скорость точки А относительно инерциальной системы отсчета не изменялась бы и мы имели бы .Однако из-за взаимодействия точек А и В производная отлична от нуля. Как уже указывалось выше, механика не отвечает на вопрос о том, почему наличие точки В оказывает воздействие на движение точки А, а исходит из того факта, что такое воздействие имеет место, и отождествляет результат этого воздействия с вектором . Воздействие точки В на движение точки А называют силой и говорят, что точка В действует на точку А с силой, изображаемой вектором
Именно это равенство (используя термин «сила») обычно называют вторым законом Ньютона.
Пусть, далее, та же точка А взаимодействует с несколькими материальными объектами . Каждый из этих объектов, если бы он был один, обусловил бы возникновение силы соответственно. При этом постулируется гак называемый принцип независимости действия сил: сила, обусловленная каким-либо источником, не зависит от наличия сил, обусловленных иными источниками. Центральным при этом является предположение о том, что силы, приложенные к одной и той же точке, могут складываться по обычным правилам сложения векторов и что полученная таким образом сила эквивалентна исходным. Благодаря предположению о независимости действия сил множество воздействий, приложенных к материальной точке, можно заменить одним воздействием, представленным соответственно одной силой, которая получается геометрическим гуммированием векторов всех действующих сил.
Сила - результат взаимодействия материальных объектов. Это знчит, что если из-за наличия точки В, то и, наоборот, из-за наличия точки А. Соотношение между силами и устанавливается третьим постулатом (законом) Ньютона. Согласно этому постулату при взаимодействии между материальными объектами силы и равны по величине, действуют вдоль одной прямой, но направлены к противоположные стороны. Этот закон формулируется иногда кратко так: «любое действие равно и противоположно противодействию».
Утверждение это - новый постулат. Он не возникает как-либо из предыдущих исходных предположений, и, вообще говоря, можно построить механику без этого постулата или с иной его формулировкой.
При рассмотрении системы материальных точек удобно разделить все силы, действующие на точки рассматриваемой системы, на два класса. К первому классу относят силы, которые возникают благодаря взаимодействиям материальных точек, входящих в данную систему. Силы такого рода называются внутренними. Силы, возникающие благодаря воздействию на материальные точки рассматриваемой системы других материальных объектов, не включенных в эту систему, называют внешними.
2. Работа силы.
Скалярное произведение , где - бесконечно малое приращение радиуса-вектора при смещении материальной точки вдоль ее траектории, называется элементарной работой силы и обозначается . Сумму элементарных работ всех сил, действующих на точки системы, называют элементарной работой сил системы и обозначают
Выражая скалярные произведения через проекции сомножителей на оси координат, получаем
(18)
Если проекции сил и приращения координат выражены через один и тот же скалярный параметр (например, через время t или - в случае системы, состоящей из одной точки, - через элементарное перемещение ), то величины в правых частях равенств (17) и (18) могут быть представлены в виде функций от этого параметра, умноженных на его дифференциал, и могут быть проинтегрированы по этому параметру, например по t в пределах от до . Результат интегрирования обозначается и называется полной работой силы и полной работой сил системы за время соответственно.
При подсчете элементарной и полной работы всех сил системы, , должны быть приняты во внимание все силы, как внешние, так и внутренние. Тот факт, что внутренние силы попарно равны и противоположно направлены, оказывается несущественным, так как при подсчете работы играют роль еще и перемещения точек, и поэтому работа внутренних сил, вообще говоря, отлична от нуля.
Рассмотрим частный случай, когда величины в правых частях равенств (17) и (18) могут быть представлены как полные дифференциалы
В этом случае также естественно принять введенные выше обозначения и определения:
Из равенств (21) и (22) следует, что в тех случаях, когда элементарная работа является полным дифференциалом некоторой функции Ф, работа на любом конечном интервале зависит лишь от значений Ф в начале и в конце этого интервала и не зависит от промежуточных значений Ф, т. е. от того, каким образом происходило перемещение.
3. Силовое поле.
Во многих задачах механики часто приходится иметь дело с силами, зависящими от положения рассматриваемых точек (и, быть может, от времени) и не зависящими от их скоростей. Так, например, сила может зависеть от расстояния между взаимодействующими точками. В технических задачах силы, обусловленные пружинами, зависят от деформации пружин, т. е. также от положения в пространстве рассматриваемой точки или тела.Рассмотрим сначала случай, когда изучается движение одной точки и поэтому рассматривается только одна сила, зависящая от положения точки. В таких случаях вектор силы связывают не с точкой, на которую осуществляется воздействие, а с точками пространства. Предполагается, что с каждой точкой пространства, определяемой в некоторой инерциальной системе отсчета, связан нектор, изображающий ту силу, которая действовала бы на материальную точку, если бы последняя была помещена в эту точку пространства. Таким образом, условно считается, что пространство всюду «заполнено» векторами. Это множество векторов называется силовым полем.
Говорят, что силовое поле стационарно, если рассматриваемые силы не зависят явно от времени. В противном случае силовое поле называется нестационарным.
Поле называется потенциальным, если существует такая скалярная функция координат точки (и, быть может, времени) , что частные производные от этой функции по и равны проекциям силы F на оси х, у и z соответственно:
В связи с тем, что сила F есть функция точки пространства, т. е. координат , и, может быть, времени, ее проекции также являются функциями переменных .
Функция , если она существует, называется силовой функцией. Разумеется, силовая функция существует не для всякого силового поля, и условия ее существования, т. е. условия того, что поле потенциально, еыясняются в курсе математики и определяются равенствами
При исследовании движения N взаимодействующих точек необходимо учитывать наличие N действующих на них сил . В этом случае вводят -мерное пространство координат точек . Задание точки этого пространства определяет расположение всех N материальных точек изучаемой системы. Далее вводят в рассмотрение -мерный вектор с координатами и условно считают, что -мерное пространство всюду плотно заполнено такими векторами. Тогда задание точки этого -мерного пространства определяет не только положение всех материальных точек относительно исходной системы отсчета, но и все силы, действующие на материальные точки системы. Такое -мерное силовое поле называется потенциальным, если существует силовая функция Ф от всех координат такая, что
Если силы могут быть представлены в виде суммы двух слагаемых
так, что слагаемые удовлетворяют соотношениям (24), а слагаемые им не удовлетворяют, то называются потенциальными, непотенциальными силами.
Система материальных точек называется консервативной, если существует силовая функция , не зависящая явно от времени (силовое поле стационарно) и такая, что все силы, действующие на точки, удовлетворяют соотношениям (24).
Элементарную работу сил консервативной системы
удобно представить в ином виде, выразив скалярные произведения через проекции векторов-сомножителей (формула (18)). Учитывая существование силовой функции Ф, в силу (23) получаем
т. е. элементарная работа равна полному дифференциалу силовой функции
Таким образом, при дгижениях консервативной системы элементарная работа выражается полным дифференциалом некоторой функции, и поэтому
Гиперповерхности
называют поверхностями уровня.
В формуле (26) символы и означают значения Ф в моменты начала и конца движения. Поэтому при любом движении системы, началу которого соответствует точка, расположенная на поверхности уровня
а концу - точка на поверхности уровня
работа подсчитываете по формуле (26). Следовательно, при движении консервативней системы работа зависит не от пути, а лишь от того, на каких поверхностях уровня началось и закончилось движение. В частности, работа равна нулю, если движение начинается и заканчивается на одной и той же поверхности уровня.
Кроме контактных взаимодействий, возникающих между соприкасающимися телами, наблюдаются также взаимодействия между телами, удаленными друг от друга. Например, взаимодействие между Солнцем и Землей, Землей и Луной, Землей и телом, поднятым над ее поверхностью, взаимодействие между наэлектризованными телами. Такие взаимодействия осуществляются посредством физических полей , которые представляют собой особую форму материи. Каждое тело создает в окружающем его пространстве особое состояние, называемое силовым полем. Это поле проявляет себя в действии сил на другие тела. Например, Земля создает гравитационное поле. В нем на каждое тело массы m в каждой точке вблизи поверхности Земли действует сила - mg.
Силы, работа которых не зависит от пути, по которому двигалась частица, а определяется только начальным и конечным положением частицы, называются консервативными .
Покажем, что работа консервативных сил на любом замкнутом пути равна нулю.
Рассмотрим произвольный замкнутый путь. Разобьем его произвольно выбранными точками 1 и 2 на два участка: I и II. Работа на замкнутом пути равна:
|
(18 .1 ) |
Рис.18.1. Работа консервативных сил на замкнутом пути
Изменение направления движения по участку II на обратное сопровождается заменой всех элементарных перемещений dr на (-dr), из-за чего изменяет знак на обратный. Тогда:
|
|
(18 .2 ) |
Теперь, подставив (18.2.) в (18.1.) , получаем, что А=0, т.е. вышеприведенное утверждение нами доказано. Другое определение консервативных сил можно сформулировать так: консервативные силы, это силы, работа которых на любом замкнутом пути равна нулю.
Все силы, не являющиеся консервативными, называются неконсервативными . К неконсервативным силам относятся силы трения и сопротивления.
Если силы, действующие на частицу, во всех точках поля одинаковы по модулю и направлению, то поле называется однородным.
Поле, не изменяющееся со временем, называется стационарным . В случае однородного стационарного поля: F=const.
Утверждение: силы, действующие на частицу в однородном стационарном поле, консервативны.
Докажем это утверждение. Так как поле однородно и стационарно, то F=const. Возьмем в этом поле две произвольные точки 1 и 2 (рис.18.2.) и рассчитаем работу, совершаемую над частицей при ее перемещении из точки 1 в точку 2.
18.2. Работа сил в однородном стационарном поле на пути от точки 1 к точке 2
Работа сил, действующих на частицу в однородном стационарном поле, равна:
где r F - проекция вектора перемещения r 12 на направление действия силы, r F определяется только положениями точек 1 и 2, и не зависит от формы траектории. Тогда, работа силы в этом поле не зависит от формы пути, а определяется лишь положениями начальной и конечной точек перемещения, т.е. силы однородного стационарного поля консервативны.
Вблизи поверхности Земли поле силы тяжести является однородным стационарным полем и работа силы mg равна:
|
|
(18 .4 ) |
где (h 1 -h 2) - проекция перемещения r 12 на направление силы, сила mg направлена вертикально вниз, сила тяжести консервативна.
Силы, зависящие только от расстояния между взаимодействующими частицами, и направленные по прямой, проходящей через эти частицы, называются центральными. Примерами центральных сил являются: кулоновские, гравитационные, упругие.
силовое поле
часть пространства, в каждой точке которого на помещенную туда частицу действует определенная по величине и направлению сила, зависящая от координат этой точки, а иногда и от времени. В первом случае силовое поле называют стационарным, а во втором - нестационарным.
Силовое поле
часть пространства (ограниченная или неограниченная), в каждой точке которой на помещенную туда материальную частицу действует определённая по величине и направлению сила, зависящая или только от координат x, у, z этой точки, или же от координат x, у, г и времени t. В первом случае С. п. называется стационарным, а во втором ≈ нестационарным. Если сила во всех точках С. п. имеет одно и то же значение, т. е. не зависит ни от координат, ни от времени, то С. п. называется однородным. С. п., в котором работа сил поля, действующих на перемещающуюся в нём материальную частицу, зависит только от начального и конечного положения частицы и не зависит от вида её траектории, называется потенциальным. Эту работу можно выразить через потенциальную энергию частицы П (х, у, z) равенством А = П (x1, y1, z
- стационарные силовые поля , величина и направление которых могут зависеть исключительно от точки пространства (координат x, у, z), и
- нестационарные силовые поля , зависящие также от момента времени t.
однородное силовое поле , для которого сила, действующая на пробную частицу, одинакова во всех точках пространства и
- неоднородное силовое поле , не обладающее таким свойством.
- Силовое поле - векторное поле сил в физике;
- Силовое поле - некий невидимый барьер, основная функция которого - защита некоторой области или цели от внешних или внутренних проникновений.
≈ П (x2, y2, z
Где x1, y1, z1 и x2, y2, z2 ≈ координаты начального и конечного положений частицы соответственно. При движении частицы в потенциальном С. п. под действием только сил поля имеет место закон сохранения механической энергии, позволяющий установить зависимость между скоростью частицы и сё положением в С. п.
Примеры потенциального С. п.: однородное поле силы тяжести, для которого П = mgz, где т ≈ масса частицы, g ≈ ускорение силы тяжести (ось z направлена вертикально вверх); ньютоново поле тяготения, для которого П = ≈ fm/r, где r ≈ расстояние частицы от центра притяжения, f ≈ постоянный для данного поля коэффициент.
Технически различают:
Наиболее простым для исследования является стационарное однородное силовое поле, но оно же представляет собой и наименее общий случай.
Силовое поле
Силовое поле - многозначный термин, употребляемый в следующих значениях:
Силовое поле (фантастика)
Силовое поле или силовой щит или защитный щит - широко распространенный термин в фантастической и научно-фантастической литературе, а также в литературе жанра фэнтэзи, который обозначает некий невидимый барьер, основная функция которого - защита некоторой области или цели от внешних или внутренних проникновений. Эта идея может базироваться на концепции векторного поля. В физике этот термин также имеет несколько специфических значений (см. Силовое поле).
Консервативными силами называются силы, работа которых не зависит от пути перехода тела или системы из начального положения в конечное. Характерное свойство таких сил – работа на замкнутой траектории равна нулю:
К консервативным силам относятся: сила тяжести, гравитационная сила, сила упругости и другие силы.
Неконсервативными силами называются силы, работа которых зависит от пути перехода тела или системы из начального положения в конечное. Работа этих сил на замкнутой траектории отлична от нуля. К неконсервативным силам относятся: сила трения, сила тяги и другие силы.
Силовым полем называется физическое пространство, удовлетворяющее условию, при котором на точки механической системы, находящейся в этом пространстве, действуют силы, зависящие от положения этих точек или от положения точек и времени. Силовое поле. силы которого не зависят от времени, называется стационарным. Стационарное силовое поле называется потенциальным, если существует такая функция, однозначно зависящая от координат точек системы, через которую проекции силы на координатные оси в каждой точке поля выражаются так: X i =∂υ/∂x i ; Y i =∂υ/∂y i ; Z i = ∂υ/∂z i.
Каждой точке потенциального поля соответствует, с одной стороны, некоторое значение вектора силы , действующей на тело, и, с другой стороны, некоторое значение потенциальной энергии . Следовательно, между силой и потенциальной энергией должна существовать определенная связь.
Для установления этой связи вычислим элементарную работу , совершаемую силами поля при малом перемещении тела, происходящем вдоль произвольно выбранного направления в пространстве, которое обозначим буквой . Эта работа равна
где - проекция силы на направление .
Поскольку в данном случае работа совершается за счет запаса потенциальной энергии , она равна убыли потенциальной энергии на отрезке оси :
Из двух последних выражений получаем
Последнее выражение дает среднее значение на отрезке . Чтобы
получить значение в точке нужно произвести предельный переход:
Так как может изменяться не только при перемещении вдоль оси , но также и при перемещениях вдоль других направлений, предел в этой формул представляет робой так называемую частную производную от по :
Это соотношение справедливо для любого направления в пространстве, в частности и для направлений декартовых координатных осей х, у, z:
Эта формула определяет проекции вектора силы на координатные оси. Если известны эти проекции, оказывается определенным и сам вектор силы:
в математике вектор 
,
где а - скалярная функция х, у, z, называется градиентом этого скаляра обозначается символом . Следовательно сила равна градиенту потенциальной энергии, взятого с обратным знаком